Cách ôn tập, làm bài thi tốt nghiệp THPT môn Toán hiệu quả

I.    Hướng dẫn chung về việc ôn tập và làm bài thi
Khi ôn tập cần chú ý: ‘Nhớ công thức, hiểu phương pháp giải các dạng bài tập, vận dụng kiến thức để suy luận và tính toán chính xác trong các tình huống cụ thể’. Khi làm bài thi cần chú ý ‘tiêu chí 3Đ’ : Đúng kết quả, đủ ý, trình bày đẹp’
1. Hướng dẫn ôn tập
– Nhớ và hiểu được tất cả các công thức trong Sách giáo khoa THPT lớp 12, biết vận dụng vào các bài tập cụ thể.
– Ôn tập hệ thống các dạng toán trong sách giáo khoa và sách bài tập môn Toán lớp 12
– Sử dụng tài liệu Hướng dẫn Ôn tập thi tốt nghiệp THPT năm học 2011 – 2012 của Nhà xuất bản giáo dục
– Tham khảo một số đề thi tốt nghiệp THPT môn toán những năm gần đây để biết mức độ kiến thức của một đề thi tốt nghiệp THPT.
– Tham khảo cấu trúc đề thi tốt nghiệp môn Toán của Bộ giáo dục năm 2010
– Tham khảo nội dung giảm tải môn toán THPT được Bộ giáo dục và Đào tạo thông báo đầu năm học 2011-2012
– Tham khảo đáp án và thang điểm của đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây để rút kinh nghiệm trong việc trình bày.
– Mặc dù trọng tâm kiến thức thi tốt nghiệp tập trung ở chương trình lớp 12 nhưng phần lớn các bài toán THPT đều liên quan đến việc rút gọn một biểu thức, giải phương trình và bất phương trình bậc nhất, giải phương trình và bất phương trình bậc hai, giải hệ phương trình, giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, giải phương trình vô tỉ, giải bất phương trình vô tỉ, giải phương trình và bất phương trình tích. Học sinh cần phải nắm vững các kiến thức, kĩ năng nói trên và một số kiến thức liên quan được học ở các lớp 7, 8, 9, 10 như: quy tắc phá ngoặc, quy tắc nhân hai đa thức, quy tắc chia đa thức cho đa thức (tình huống thường gặp là chia tam thức bậc hai cho nhị thức bậc nhất), định lí về dấu của nhị thức bậc nhất, định lí về dấu của tam thức bậc hai.
2. Hướng dẫn làm bài thi
– Học sinh cần phải chú ý ‘tiêu chí 3 Đ: Đúng – Đủ – Đẹp’ trong một bài thi:  kết quả đúng, đủ ý, trình bày đẹp. Thang điểm của bài thi thường được đặt bên cạnh đáp số của mỗi phép toán. Nếu học sinh tính toán sai hoặc viết nhầm thì mất rất nhiều điểm. Nếu học sinh viết sai ở phần nào thì sẽ mất điểm toàn bộ phần sau đó khi có liên quan với nhau về nội dung.
+ Học sinh phải viết đúng các công thức toán, viết đúng các kí hiệu toán,
rút gọn đúng các biểu thức và kết quả đúng ở tất cả các phép toán. 
+ Học sinh phải trình bày đủ ý; các bài toán thi tốt nghiệp bám sát nội dung sách giáo khoa và đều có quy trình giải, vì vậy học sinh phải trình bày đầy đủ các ý trong quy trình giải một bài toán như: quy trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, quy trình tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp, quy trình tính tích phân bằng phương pháp đổi biến…Thang điểm của bài thi sẽ căn cứ vào các bước trong quy trình giải toán, nếu học sinh trình bày đủ các ý thì sẽ không bị mất điểm. Ngoài ra, học sinh cần phải có đáp số hoặc kết luận trong lời giải mỗi bài toán vì biểu điểm thường có 0,25 điểm ở phần kết luận, đáp số.
+ Để đạt điểm cao, học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt, các ý rõ ràng. Thang điểm của bài thi thường có sau mỗi suy luận logic hoặc sau mỗi phép biến đổi, tính giá trị biểu thức… Vì vậy, sau mỗi suy luận logic hoặc biến đổi, tính toán biểu thức…; học sinh nên xuống dòng, chia ý rõ ràng. Tránh tình trạng viết lời giải một bài toán như viết một đoạn văn, khi đó nếu học sinh sai ở dòng cuối cùng thì có thể bị mất nhiều điểm.

– Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện: Khi viết mỗi biểu thức toán học, nếu gặp biểu thức chứa ẩn ở mẫu, biểu thức chứa căn bậc hai, biểu thức logarit, học sinh cần có thói quen đặt điều kiện để các biểu thức có nghĩa. Ngoài ra, với biểu diễn đại số của số phức z=a+bi ta phải điều kiện a, b là các số thực. Trước khi kết luận đáp số bài toán, học sinh cần có thói quen kiểm tra lại điều kiện.
– Làm bài dễ để củng cố tinh thần: Học sinh cần đọc đề thi vài lượt, chọn bài dễ làm trước và viết ngay vào bài thi, khi trình bày được vào bài thi, tinh thần làm bài của học sinh sẽ tốt hơn. Bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là bài có sẵn quy trình giải và luôn xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp THPT, học sinh có thể làm ngay bài khảo sát trước. Nếu học sinh làm bài khó không ra kết quả thì có thể mất tinh thần làm bài.
II. Hướng dẫn ôn tập từng chủ đề
1.    Chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

Học sinhcần nắm vững các vấn đề sau đây:
– Quy trình khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: hàm đa thức bậc ba, hàm trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Trong phần này, học sinh cần luyện tập nhiều kĩ năng tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số. Biểu điểm thường tập trung vào các mốc quan trọng như: tập xác định, nghiệm của đạo hàm, dấu của đạo hàm, cực trị, các khoảng đơn điệu, giới hạn và tiệm cận (nếu có), bảng biến thiên, tính đối xứng của đồ thị hàm trùng phương, giao điểm của đồ thị với trục Oy, vẽ đúng dáng của đồ thị hàm số và các điểm đặc biệt, các đường tiệm cận (nếu có). Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cần chú ý rằng giới hạn của hàm số khi x dần đến vô cực sẽ bằng một hằng số thực (không được nhầm lẫn là hàm số có giới vô cực khi x dần đến vô cực)
– Các dạng tiếp tuyến: tiếp tuyến tại một điểm có hoàng độ cho trước,tiếp tuyến tại một điểm có tung độ cho trước, tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước, tiếp tuyến có hệ số góc cho trước, tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Khi lập phương trình tiếp tuyến, ta thường phải lập phương trình để tìm hoành độ của tiếp điểm. Tìm điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số
– Các dạng tiệm cận của đồ thị hàm số: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
– Sự liên hệ giữa số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số với số nghiệm thực phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm. Quan sát số điểm chung của đường thẳng y=m với đồ thị y=f(x) để biện luận số nghiệm thực của phương trình f(x)=m hoặc xét số nghiệm thực của phương trình để suy ra số giao điểm.

– Dấu hiệu nhận biết hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một khoảng xác định; điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng xác định.
– Các điều kiện để hàm số có cực trị: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị, điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một điểm cho trước.
– Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số (đoạn, khoảng, nửa khoảng). Khảo sát trực tiếp hàm số ban đầu hoặc hoặc khảo sát gián tiếp hàm số của biến mới (đổi biến).
– Phương pháp vận dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình.
2.    Chủ đề Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit.

Học sinh cần nắm vững các vấn đề sau:
– Điều kiện xác định của biểu thức logarit.
– Đạo hàm của hàm lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit.
– Các phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình, bất phương trình mũ, logarit: phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp logarit hóa; một số phương trình đặc biệt có thể được chuyển về phương trình tích, bất phương trình tích.
– Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình, bất phương trình mũ, logarit.
– Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình logarit
– Phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình mũ, logarit.
3.    Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.

Học sinh cần nắm vững các vấn đề sau:
– Các công thức đạo hàm được giới thiệu trong Sách giáo khoa lớp 11.
– Bảng nguyên hàm, tích phân của một số hàm số thường gặp: Hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác
–  Nhớ các biểu thức vi phân của sinx, cosx, tanx, cotx, ex, lnx, xk
– Phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm, tích phân: Chú ý đổi biến số đồng thời với đổi vi phân, với bài toán tính tích phân thì đổi biến số đồng thời với đổi vi phân và đổi cận. Chú ý: vi phân và cận phải được viết tương ứng với biến dưới dấu nguyên hàm, tích phân.
– Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tích phân từng phần. Nếu biểu thức dưới dấu nguyên hàm tích phân có một trong dạng (ax+b)sinnx, (ax+b)cosnx, (ax+b)emx+n thì ta chọn u=ax+b, nếu biểu thức trong nguyên hàm tích phân có dạng (ax2+bx+c)lnx thì ta chọn u=lnx; trong các trường hợp trên, chọn dv là thành phần còn lại dưới dấu nguyên hàm, tích phân.
– Với nguyên hàm, tích phân của hàm lượng giác, học sinh cần chú ý công thức lượng giác biến tích thành tổng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc (Sách giáo khoa lớp 10).
– Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng. Để làm tốt phần này, học sinh cần rèn kĩ năng tính tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối; kĩ năng xét dấu của biểu thức bậc nhất, biểu thức bậc hai, phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất. Học sinh cần chú ý viết đúng công thức tính diện tích thông qua tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối sau đó tuỳ thuộc vào hoàn cảnh cụ thể mới phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc chuyển về giá trị tuyệt đối của tích phân.
– Ứng dụng tích phân tính thể tích của khối tròn xoay: Học sinh cần chú ý hằng đẳng thức đáng nhớ: bình phương một tổng, bình phương một hiệu. Nếu xoay hình quanh trục Ox thì dùng vi phân dx, nếu xoay hình quanh trục Oy thì dùng vi phân dy
4.    Chủ đề số phức. Học sinh cần nắm vững những vấn đề sau:
– Dạng đại số của số phức, phần thực và phần ảo của số phức, số phức liên hợp của một số phức, mô đun của số phức, điều kiện để một số phức là số thực, điều kiện để một số phức là số ảo. Chú ý: Khi viết dạng đại số z=a+bi ta phải có điều kiện a, b là các số thực.
– Phép toán giữa hai số phức. Ta có thể áp dụng tính chất của số phức tương tự như đối với số thực đó là: tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng, hằng đẳng thức đáng nhớ. Các kĩ năng nhân và chia biểu thức với đại lượng liên hợp thường được sử dụng khi biến đổi rút gọn phân thức liên quan đến số phức. Chú ý là chỉ có dấu bất đẳng thức giữa hai số thực nhưng không có dấu bất đẳng thức giữa hai số phức bất kì.
– Phương trình bậc nhất đối với số phức: sử dụng phép toán giữa các số phức hoặc sử dụng dạng đại số của số phức để giải phương trình.
– Phương trình bậc hai nghiệm phức: Nếu đen ta bằng 0 hoặc đen ta là số thực dương thì ta sử dụng công thức nghiệm như đối với phương trình bậc hai nghiệm thực. Nếu đen ta không phải là số thực thì phải chọn các số thực m, n để có thể biểu diễn đen ta bằng biểu thức (m+ni)2
– Phương trình tích với nghiệm phức được biến đổi tương tự như đối với nghiệm thực
– Phương trình dạng A2+B2 = 0 ta không thể giải tương tự như đối với nghiệm thực mà phải chuyển về phương trình tích (A+iB)(A-iB)=0
– Sử dụng dạng đại số của số phức để tìm căn bậc hai của số phức.
– Biểu diễn hình học của số phức: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một tính chất xác định. Tình huống thường gặp là viết z=x+yi với x, y là các số thực, biến đổi các điều kiện liên quan đến z tương đương với x, y thỏa mãn một phương trình đường thẳng hoặc đường tròn.
– Dạng lượng giác của số phức (dành cho học sinh ban nâng cao): Cho số phức dưới dạng đại số, biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác, tìm acgumen, sử dụng công thức Moa-vrơ tìm lũy thừa bậc n của số phức; sử dụng dạng lượng giác để thực hiện phép toán giữa hai số phức. Trong phần này, học sinh cần nắm vững một số công thức lượng giác của lớp 10 như công thức liên quan đến giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, hai góc bù nhau, hai góc đối nhau, công thức cộng, công thức nhân đôi…
5. Chủ đề Khối đa diện. Học sinh cần chú ý những vấn đề sau
– Công thức tính diện tích của tam giác, diện tích hình thang, diện tích hình chữ nhật, thể tích của khối chóp, thể tích khối lăng trụ tam giác và lăng trụ tứ giác.
– Trong phần thể tích, học sinh thường phải tính đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ. Các tình huống thường gặp:
i) hình chóp đều có đường cao đi qua tâm của mặt đáy;
ii) hình lăng trụ đứng có đường cao bằng cạnh bên.
iii) hình chóp hoặc hình lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, khi đó chiều cao của hình chóp bằng độ dài của cạnh bên, hình chiếu vuông góc của các cạnh bên còn lại trên mặt đáy là đoạn thẳng có một đầu múc là chân đường cao. Từ đó có thể xác định góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng chứa đáy của đa diện
iv) hình chóp hoặc hình lăng trụ có một mặt bên vuông góc với mặt đáy, khi đó đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ là đường cao của mặt bên và hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc mặt bên trên đáy trùng với giao tuyến. Từ đó có thể xác định góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng chứa đáy của đa diện
– Học sinh nắm vững cách xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
– Nếu giả thiết của bài toán có hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì thường kẻ thêm đường phụ là đường thẳng trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuuyến, khi đó đường này sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại. Nếu giả thiết có hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì thường dùng đến giao tuyến của hai mặt phẳng vì giao tuyến sẽ vuông góc với mặt thứ ba
– Để làm tốt chủ đề này, học sinh phải nhớ định lí Pytago trong tam giác vuông, định lí cosin trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông.
6.    Chủ đề Hình cầu, hình trụ, hình nón
– Nắm vững công thức diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu, diện tích xung quanh của hình trụ, thể tích khối trụ, diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón.
– Với dạng toán hình cầu, học sinh phải biết xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện. Có thể cần phải xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp một mặt của đa diện, từ đó xác định trục của đường tròn ngoại tiếp. Một số trường hợp thường gặp:
i)các đỉnh đa diện cùng nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông, khi đó tâm mặt cầu là trung điểm đoạn nối hai điểm cố định;
ii)hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, khi đó đáy của đa diện là đa giác nội tiếp đường tròn và hình chiếu của đỉnh trên đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy, trục của đường tròn ngoại tiếp đáy chứa đường cao hình chóp; hình chóp đều có tâm mặt cầu ngoại tiếp thuộc đường cao;
iii) hình chóp có đáy là tam giác vuông, khi đó trục của đường tròn ngoại tiếp đáy là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh huyền và vuông góc với đáy.
Như vậy, để nắm vững dạng toán này, học sinh phải nắm vững các loại quan hệ vuông góc: đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

7.    Phương pháp tọa độ trong không gian

– Nắm vững công thức tọa độ tích có hướng của hai véc tơ. Biết sử dụng tích
có hướng của hai véc tơ để tính diện tích tam giác, tính thể tích khối hộp, thể tích khối tứ diện (ban nâng cao). Sử dụng tích có hướng của hai véc tơ để xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng khi véc tơ chỉ phương vuông góc với hai véc tơ cho trước, sử dụng tích có hướng của hai véc tơ để xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng khi véc tơ pháp tuyến vuông góc với hai véc tơ cho trước.
– Nắm vững các dạng phương trình đường thẳng: phương trình tham số và phương trình chính tắc, nắm vững phương trình mặt phẳng và phương trình mặt cầu. Chú ý các dạng mặt phẳng đặc biệt (song song với các mặt phẳng tọa độ, chứa các trục tọa độ,…).
– Để lập phương trình đường thẳng, học sinh thường phải chỉ ra một điểm thuộc đường thẳng và véc tơ chỉ phương. Có thể sử dụng quan hệ song song, quan hệ vuông góc và tích có hướng để tìm véc tơ chỉ phương
  – Để lập phương trình mặt phẳng, học sinh thường phải chỉ ra một điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến. Có thể sử dụng quan hệ song song, quan hệ vuông góc và tích có hướng để tìm véc tơ pháp tuyến
–  Một số dạng toán và kiến thức liên quan:
i) Lập phương trình mặt phẳng thỏa mãn một trong các điều kiện: mặt phẳng chứa  ba điểm phân biệt, chứa một đường thẳng và một điểm ngoài đường thẳng, đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước, đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước, tiếp xúc mặt cầu tại một điểm cho trước, mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng khác.
ii) Lập phương trình đường thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau: đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, đi qua một điểm vuông góc với hai đường cho trước, đi qua một điểm đồng thời vuông góc và cắt một đường cho trước, đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước.
iii) Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: mặt cầu có tâm và bán kính cho trước, có tâm và đi qua một điểm cho trước, có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước, có tâm và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước (ban nâng cao), chứa bốn điểm cho trước.
iv) Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng (ban nâng cao).
v) Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.   
– Trong nhiều trường hợp, học sinh phải tham số hóa tọa độ của một điểm (biểu diễn tọa độ theo tham số), từ đó lập phương trình tìm tham số.